BOMATEKA

     Bonyhádi Matematikai Tehetségfejlesztő Alapítvány

 
XXI. Nagy Károly Diáktalálkozó
Ezen a hétvégén Komáromban vettünk részt a már XXI. alkalommal megrendezett Nagy Károly Diáktalálkozón. Ezt a matematikatábort még Oláh György tanár úr alapította, azonban halála miatt ebben az évben először Keszegh István tanár úr rendezte. Hárman voltunk diákok a gimnáziumunkból, (Kacz Dániel, Nemes György és Wiandt Péter) és Dr. Katz Sándor tanár úr kísért bennünket. Péntek délután érkeztünk, majd még ezen a napon volt egy matematikaóránk, valamint az este folyamán kulturális programon vettünk részt. Másnap 3 óránk volt és délután megnéztük a Komáromi erődöt. Vasárnap délelőtt még egy óránk volt, majd délután hazajöttünk. Mindegyik óra 1,5 órás volt, és egy alkalommal mindig 4 különböző óra közül választhattunk. Sok jó óra volt. Voltak feladatmegoldós óráink is, de például azt is megtanultuk Csorba Ferenc tanár úrtól, hogy hogyan kell négyzetekből kockát, tetraédert és még számos különböző testet hajtogatni.
Wiandt Péter 10.a
 
   
Brüsszel - 2013
A brüsszeli matematikatábor

A többéves kihagyás után immáron másodszor volt lehetőségük a matematika iránt érdeklődő 11-12 évfolyamos tanulóknak kijutni a brüsszeli Európa Iskolába, ahol egy ötnapos matematikatáborba vehettek részt. Ennek előzménye volt, hogy brüsszeli diákok jöttek Magyarországra május elején 5 napra.
Október 18-án a reggeli félhetes indulás után gond nélkül felértünk a repülőtérre. Bánatunkra a gép késett egy órát, így nem volt lehetőségünk eljutni az Atomiumig, ami Brüsszel egyik jelképének számít, így a pénteki programba csak egy waterloo-i látogatás fért bele. Utána elmentünk az iskolához, ahol a vendéglátóink vártak. Mindenki sokkal fesztelenebbül viselkedett, mivel már nem teljesen idegenek voltunk egymásnak. Volt, hogy egy cserediáknál 2 magyar volt, mivel páran elmentek a nyár folyamán az iskolából.
Szombattól keddig minden délelőtt matematikaórák voltak, minden nap kettő 75 perces, közte szünettel. Szombaton az első eladás a szélerőművekről volt, valamint egy játékos csapatversenyben vehettünk részt. Így megismerhettük, hogy hogyan tudjuk alkalmazni az elméletet a gyakorlatban. Vasárnap is volt egy verseny, ám más jellegű volt, mint a szombati, így nem vált unalmassá. Az első órát Jakab Tamás tartotta, aki kint tanít ebben az iskolában, és neki köszönhető ez a létrejött kapcsolat a két iskola között. Hétfőn egy programozással indítottunk, melyben matematikai problémákra kellett számítógépes algoritmust adni, majd a Nokia és a Siemens alelnöke jött hozzánk, és a munkájáról mesélt nekünk, ami kivétel nélkül mindenkit lekötött. Kedden két iskolabeli tanár tartott órát, az egyik a valószínűség-számítás területéről hozott kettő érdekes problémát, majd a második órán a gráfokról hallgattunk meg egy előadást.
Ám nem csak matematikával foglalkoztunk. Szombat délután ellátogattunk Brugge-be, ahol egy térképpel a kezünkbe vágtunk neki a városnak, hogy felderítsünk egyénileg. Sajnos az eső miatt nem mentünk el a tengerpartra. Vasárnap délután a családdal töltöttünk egy kis időt, aztán fél ötkor minden diák (brüsszeli és magyar egyaránt) találkozott, hogy bowlingozzunk egyet, valamint elvittek minket lézerharcolni. Utána ellátogattunk Brüsszel főterére, hogy esti kivilágításban is lássuk, hiszen gyönyörű. Hétfő délután elmentünk a Parlamentáriumba, ahol bepillantást nyerhettünk az Európai Parlament működésébe. Utána szervezett túra során végignéztük a nevezetességeket a városba, mely mindenki legnagyobb örömére csokoládékóstolást is tartalmazott. Kedd délután pedig elbúcsúztunk a brüsszeliektől, s hazarepültünk.
Bátran állítható, hogy ez egy felejthetetlen élmény volt mindannyiunk számára.

  Bősze Zsófia 11.a
 
   
MOL MesterM és Ericsson-díj
Örömmel tudatjuk, hogy munkaközösségünk két tagja 2013. júniusában rangos elismerésben részesült.

Wiand Péter kollégánk Ericsson díjat, Dr. Katz Sándor volt tanítványai felterjesztése alapján MesterM díjat kapott
 
 
 
   
Aegon – „Érd el a célodat!”
Bősze Zsuzsanna, 18 éves - Bonyhád
Aegon – „Érd el a célodat!” fődíj
matematika

 
 
Zsuzsanna nemcsak matematikából ért el kimagasló eredményt – többszörös helyezett anyanyelvi és helyesírási versenyeken, döntős volt a Curie és az Irinyi János kémia versenyeken, angolból felsőfokú nyelvvizsgája van, nyolcéves kora óta zongorázik, és szintén számos versenyen is indult már. 4 éves kora óta lisztérzékenységben szenved, ami sok nehézséget okoz számára, ha a lakhelyétől messze kell versenyeznie.

Bár nem speciális matematika tantervű gimnáziumba jár, tavaly meghívást kapott az olimpiai válogató versenyre is, rendszeres tagja az olimpiai csapatnak, részt vesz a felkészítő táborokban és a válogatóversenyeken. Zsuzsanna matematikus szeretne lenni, PhD vagy MSc képzésben akár külföldön, akár Magyarországon tanulna majd. Minél több versenyen szeretne részt venni, az ösztöndíjat ezek költségeire és a felkészülésre fordítaná.

Eredményei:

2009/2010-es tanév: 4 megye matematikaversenyének 1. helyezettje (maximális pontszámmal) Az Arany Dániel és Szőkefalvi-Nagy Gyula versenyek országos döntőse KöMal pontverseny 9. helyezettje

2010/2011-es tanév: 4 megye matematika versenyének 1. helyezettje Arany Dániel matematika verseny országos 3. helyezettje Szőkefalvi-Nagy Gyula matematika verseny országos 1. helyezettje Nemzetközi Magyar matematika verseny 2. helyezettje KöMal pontverseny 6. helyezettje (legjobb lány!).

2011/12-es tanévben: 4 megye matematika versenyének 11.-es döntőjében 3. helyezettje Matematika OKTV döntős Nemzetközi Matematikaverseny - dicséret Szőkefalvi-Nagy Gyula matematika verseny 2. helyezett Cambridge-i Európai Lány Matematikaolimpia – csapat, 8. hely

2012/2013-as tanév: 4 megye matematika versenye első fordulójának első helyezettje Továbbjutott az OKTV második fordulójába
 

 

 
 
Kármán Tódor díj
Alapítványunk létrehozója Varga Zoltán lett a 2012. évi Kármán Tódor díj egyik kitüntetettje.

2012. december 21-én Hoffmann Rózsa államtitkár asszony adta át a díjakat.

Őszintén gratulálunk Varga Zoltánnak a díjához.
 


 
 
Államfői díszvacsora matematikusok tiszteletére
Énekes Péter és Köpenczei Gergő 2012. májusában Pittsburgh-ben az ISES Nemzetközi Innovációs Versenyen 4. díjat szerezetek.
Teljesítményük elismeréseként Áder János köztársasági elnök a két tanulót és felkészítőjüket Katz Sándort, Szemerédi Endre idei Ábel-díjas professzorral együtt díszvacsorára hívta meg.
 
 

 

Számelméleti függvények alkalmazása a kriptográfiában c. kutatás bemutatása
Iskolánkban már több éve részt vesznek diákjaink kutatási tevékenységekben.

A tanulók számára a legszimpatikusabb terület a számelméleti függvények témaköre, ezen belül is az s(n)=σ(n)–n függvény. A korábbi évek során először a függvény elméleti vizsgálatával foglalkoztak, majd áttértek a hasznosíthatóság kutatására.

s(n)-nel az n szám önmagánál kisebb osztóinak összegét szokás jelölni. A függvénnyel kapcsolatban érdekes nyitott kérdések vannak, melyekre jelenleg nem ismert a válasz, azonban ezek középiskolások számára is jól érthetők. (Pl. Van-e olyan n, amelyre
s(n)=n+1? A kettő-hatványokon kívül van-e olyan n, amelyre s(n)=n-1? Van-e olyan páratlan n, amelyre s(n)=n? Nagy m-ekig, az n<m számok hányad részénél lesz n<s(n)?) Ezek egy részében elméleti meggondolások és számítógépes programok segítségével részeredmények érhetők el.

Mi munkánk során az s(n) függvény titkosításban való használhatóságát kutatjuk, valamint a mindennapi élet olyan területeit keressük, ahol más módszerekkel szemben előnyösebb az általunk vizsgált függvény használata.

Kutatásunk alapját annak a kérdésnek a vizsgálata képezi, hogy nagy n-ek esetén meg lehet-e határozni belátható időn belül s(n) értékéből n értékét. Valószínűnek látszik hogy ez a nagy számok törzstényezőkre bontásánál is nagyságrendekkel több gépidővel megoldható probléma. Mivel kb 25-30 jegyű n-ből (jó matematikai program, és néhány további ötlet segítségével) s(n) értéke viszonylag gyorsan meghatározható, ám visszafelé ugyanez gyakorlatilag nem végezhető el, ezért ez az egyik irányban gyors, másik irányban felbonthatalan művelet alkalamas lehet pl. borítékolt üzenetek titkosítására, ún. egyirányú kódoládra. Lehet, hogy a meglévő módszereknél is egyszerűbb és biztonságosabb eljárás kiindulópontja lehet.

A titkosítási eljárás
Az (n - s(n)) számpárt olyan ún. borítékolt üzenetek titkosítására használjuk, ahol az elküldés pillanatában még nem szeretnénk, hogy a címzett el tudja olvasni az üzenetet (pl. árajánlat, fogadás vagy tőzsdei lekötés esetén, borítékolt sakklépés), továbbá a borítékbontásig mi sem tudunk változtatni az üzeneten.

A kódolás lépései a következők:
1. A kódolandó üzenetet ASCII kód segítségével átírjuk egy számmá, mivel az ASCII kód minden karakterhez egy számot rendel hozzá, így egy többkarakteres szöveghez egy többjegyű számot rendel. Legyen ez a szám n.
2. n számhoz ezután egy matematika program segítségével) rendeljük hozzá az s(n)-jét. (Ezt a program egy kb. 30 jegyű n esetén egy-két percen belül elvégzi.) Ezt az s(n)-t küldjük el, mint kódolt üzenetet.

A gyakorlatban az eljárás a következő módon zajlik:
Képzeljük el, hogy egy cég pályázatot hirdetett. A pályázóknak árajánlatot kell tenniük, de nem akarják, hogy bárki megtudja mekkora ez az összeg. Ezért kódolják az ajánlatukat. Ekkor a riválisok nem tudnak rálicitálni az összegre illetve az, aki az ajánlatot feltette nem tud rajta változtatni.
Fontos, hogy ha rövid, vagy nem túl sok variációval rendelkező üzenetet kódolunk, szükséges töltelékszavakat is használnunk (pl. irodalmi idézet). Egyrészt kicsi s(n)-ből hamar meg lehet határozni n-t, másrészt, ha s(n) nagyobb is, akkor ugyan s(n)-ből n nehezen határozható meg, de rövid üzenet esetén a lehetséges n-ek végigpróbálásával s(n) már kitalálható. Ha az elküldött üzenet (s(n)) hosszú (pl. 50 jegyű) és a valódi üzenet az elküldöttnek csak egy része, akkor az elküldött s(n)-ből annak egy részét megfejteni már nem lehet.
Elküldendő üzenet: ajánlat:10mFt
Torzított üzenet: Rabok ajánlat:10m Ft legyünk
A torzított üzenet ASCII kóddal kódolt alakja: 08209709811110703209710622511010
8097116058049048109032070116032108101103121252110107

A fenti szám s(n)-jének értéke:
s(n) = 27 385 685 274 601 524 126 604 541 405 179 385 326 097 873 947 579 916 303 104 252 448 694 671 426 424 634 869

Maga a program nyilvános, de csak ezt az utóbbi számsort, s(n)-t, a „borítékolt” üzenet fogjuk elküldeni. A határidő lejártakor elküldjük az eredeti üzenetet. Ebből a fogadó fél a nyilvános programmal kiszámolja n-t és könnyen ellenőrizheti, hogy ehhez az n-hez valóban az előzőleg elküldött s(n) tartozik-e (ezért mi időközben nem tudtunk változtatni az üzeneten).

Foglalkozunk a kódolási eljárás biztonságosabbá tételével. Ahhoz, hogy egy egyirányú kódolás biztonságos legyen, több fontos tulajdonsággal is rendelkeznie kell. Az egyik ilyen például az, hogy a küldő ne tudja utólag módosítani az üzenetét, vagyis ne legyen képes olyan adat előállítására, amelynek a lenyomata megegyezik az eredeti adat lenyomatával. Illetve fontos még, hogy aki megkapja az lenyomatot, ne tudja visszafejteni az eredeti üzenetet, hanem csak utólag tudja ellenőrizni az üzenet eredetiségét.
Felmerült, hogy fontosabb üzeneteknél, amelyeknél különösen fontos, hogy ne tartozzon két üzenethez ugyanaz a kód (pl árajánlatoknál) bevezettük még biztosítékként az Euler-féle φ függvényt is.
(φ(n) megadja egy adott n egész számnak a nála kisebb, relatív prím, pozitív egész számok számát. Formálisan: φ(n) = |{ k∈Z | 0< k ≤ n ∧ (n,k) = 1 }| (ahol n∈N) )
Először kiszámoljuk az n-hez tartozó φ(n)-t, ezt hozzáírjuk az n-hez, és ebből a hosszabb n-ből számoljuk az s(n) kódot, és ezt küldjük el. Ez az eredeti módszernél sokkal biztonságosabbnak tűnik.

Kutatásunk során felvetődött az ötlet, hogy (s(n) - n) számpár alkalmazható autók nyitására és zárására. Erről bővebben: a legtöbb kocsit ma már távirányítóval nyitjuk és zárjuk. Ez a távirányító jelekkel kommunikál az autóval, tehát mikor ki akarjuk nyitni a gépjárművet az irányító kiküldi a megfelelő jelet, ezt az autó felismeri és kinyílik. Azonban ennek a módszernek vannak hátrányai. Például ha egy jel tartozik a nyitáshoz és a záráshoz, akkor az autó tolvajok le tudják hallgatni ezt a jelet, így a lehallgatott jellel ki tudják nyitni az autót.. Ezért általában a távirányítók más jelet küldenek zárásnál és nyitásnál és minden újabb zárás- nyitásnál megváltozik a jel. Azért gondoljuk, hogy s(n) és n alkalmasak erre a feladatra (s(n)-nel zárjuk le az autót és n-nel nyitjuk), mert kutatásaink eddig azt igazolják, hogy nagy s(n) esetén nem lehet következtetni n-re. Tehát ha a tolvajok meg is tudják szerezni s(n)-t, nem képesek kinyitni az autót, mert az n-nel nyílik, ami nem fejthető vissza s(n)-ből.

A kódolási eljárásunknál több kérdés, megoldandó probléma is felvetődött. Pl. az általunk eddig használt program nem volt képes 50- 60 karakternél hosszabb üzenetek kódolására rövid időn belül. Ennek a problémának a kiküszöbölésére olyan programot készítettünk, amely először beolvassa az üzenetet, majd azt 30 karakternél nem hosszabb részekre darabolja. Ezután a daraboknak külön veszi az s(n)-jét, majd ezeket szóközök nélkül összefűzi, így a végső kódnál nem lehet megállapítani, hogy az egyes darabok meddig tartanak. Így a kódolás ugyanolyan biztonságos marad, mint eddig (vagy még biztonságosabb), és bármilyen hosszúságú üzenet titkosítható.

Gondot okozhat ezen kívül, ha a kódolandó üzenetből kapott n prímszám, vagy kevés prím szorzata, mert ekkor s(n)-re 1-et vagy könnyen visszafejthető számot kapunk,. Ezért ilyen esetekben a program önállón 0-kat szúr be az üzenetbe, amíg megfelelő számot nem kapunk.

Munkánkhoz segítséget nyújtott dr. Freud Róbert az ELTE docense, és sok támogatást kaptunk Dr. Hartmann Miklóstól a SZTE adjunktusától, iskolánk volt öregdiákjától is, valamint az iskolánkban a témával az elmúlt években foglakozó, ma már egyetemen tanuló társainktól.

A programhoz kapcsolódva több elméleti kérdéssel is foglalkoztunk, pl. azzal, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy egy kb. negyvenjegyű szám prímszám vagy két prímszám szorzata.
Egy másik ilyen kérdés, hogy páratlan s(n) esetén Goldbach sejtés alapján könnyű megadni egy megfelelő n-t. A sejtés szerint minden 2-nél nagyobb páros szám előáll két prím összegeként. Ha s(n) pártalan akkor s(n)-1 páros és felírható p+q alakban, ahol p és q prímek. Ekkor n=pq-hoz az adott s(n)=p+q+1 tartozik. Ezért programunkat úgy alakítottuk, hogy hogyan biztosítsuk, hogy a szövegünk ASCII kódjából páros s(n)-t kapjunk.

Ennek a titkosítási módszernek a kidolgozása, fejlesztése, komoly kihívás, de egyben örömteli elfoglaltság volt.

Beszámolónkhoz mellékelünk egy programot, amellyel mindenki küldhet titkosított üzenetet:
snproject.jar

Az alábbiakban pedig egy árajánlatnak a fentiek szerint készült lenyomatát adjuk meg. Akinek sikerül visszafejteni a lenyomatból az eredeti szöveget, azt jutalomban részesítjük.
A lenyomat:
399448543984212204737481490443258681376965395230843331091974412527381889
377864976935377015446122799925606093083896999470718347881633540539901732
867342450731
Mi az eredeti üzenet?

Varjú János, Veres Andrea, a kutatásban résztvevő tanulók,
dr. Katz Sándor témavezető (e-mail: drkatzsandor@gmail.com)

A kutatásban résztvevő tanulók:
Bitai Tamás,
Győrfi Lajos, Szudi László,
Lamm Éva, Eckert János, (TUDOK I. díj.)
Pap Máté, Réti Norbert
Tóth Barnabás, Németh Bence (TUDOK I. díj)
Énekes Péter, Köpenczei Gergő (Innovációs verseny II. díj, ISES Pittsburgh 2012, IV. hely)
Varjú János, Veres Andrea
 

 

Brüsszel - 2011
A tavalyi Nemzetközi Magyar Matematikaverseny első és második díjasai a versenyen kívül egy brüsszeli utazást is nyertek. A verseny második díjasaként nekem is volt lehetőségem részt venni ezen az életre szóló élményen.
A kétnapos kirándulás október elején került megrendezésre. Október 3.-án Eindhovenben szállt le a repülőgépünk, ahonnan rögtön Brüsszelbe utaztunk. Ott magyar idegenvezetőnk megmutatta nekünk a város fő nevezetességeit: a Szent Mihály katedrálist, a Fő teret, valamint a Pisilő kisfiút és kislányt. Ezután szabadidő következett, majd délután az Európai Parlamentben tettünk látogatást Gál Kinga képviselőasszony jóvoltából. Ott a képviselőasszony beszélt nekünk a parlament működéséről, majd az üléstermet is megtekinthettük. Az emlékezetes parlamenti látogatás után Brüsszel egyik hangulatos éttermében vacsoráztunk, majd egy kis szabadidő alatt megismerhettük Brüsszel éjszakai életét is. A hajnali kelés és e tartalmas nap után a szállásunkra utaztunk Antwerpenbe, ahol senkinek sem kellett altatódalt énekelni.
Másnap délelőtt Antwerpen nevezetességeit néztük meg: a Miasszonyunk katedrálist, a Városházát és Rubens festő szobrát, valamint a Schelde folyó partjáról is megtekintettük a várost. Antwerpen után Gentbe utaztunk, ahol szintén megtekintettük a fő látnivalókat: a templomokat, s volt lehetőségünk megnézni a genti oltárt is. Utána a folyó partján sétáltunk ebben a hangulatos kisvárosban. Sajnos kevés időt tölthettünk itt mert sietni kellett a repülőgéphez vissza Brüsszelbe, de amikor itthon Budapesten leszálltunk, már mindenkinek csak a pozitív és elfelejthetetlen élmények jártak a fejében.
Bősze Zsuzsanna


 

 

BOMATEKA